每日一题[1265]弦长之比

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$M,N$ 两点在双曲线 $C$ 上，且 $MN\parallel F_1F_2$，$|F_1F_2|=4|MN|$，线段 $F_1N$ 交双曲线 $C$ 于点 $Q$，且 $17|F_1Q|=32|QN|$，则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 为_______．

答案    $9$．

解析    根据题意，有 $N$ 点的横坐标为 $\dfrac c4$，$Q$ 点的横坐标为

$$\dfrac{-c+\dfrac c4\cdot \dfrac{32}{17}}{1+\dfrac{32}{17}}=-\dfrac{9c}{49},$$ 于是根据双曲线的焦半径公式 I，有 $$\begin{split} NF_1&=\dfrac ca\cdot \dfrac c4+a,\\ QF_1&=-\left[\dfrac ca\cdot \left(-\dfrac{9c}{49}\right)+a\right],\end{split}$$ 从而由 $$\dfrac{NF_1}{QF_1}=\dfrac{49}{32},$$ 可得 $$\dfrac{\dfrac 14e^2+1}{\dfrac{9}{49}e^2-1}=\dfrac{49}{32},$$ 解得 $e=9$．