每日一题[1263]数列方程组

已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$，则下列结论正确的是（       ）

A．只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n<\sqrt 2b_n$

B．只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n>\sqrt 2b_n$

C．数列 $\left\{|a_n-\sqrt 2\cdot b_n|\right\}$ 是递增数列

D．数列 $\left\{\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|\right\}$ 是递减数列

答案    D．

解析    引入参数 $\lambda$，有 $$a_{n+1}+\lambda\cdot b_{n+1}=(1+\lambda)\cdot a_n+(2+\lambda)\cdot b_n,$$ 令 $$\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1+\lambda}{2+\lambda},$$ 解得 $$\lambda =\pm\sqrt 2.$$ 于是 $$\begin{split} a_{n+1}+\sqrt 2\cdot b_{n+1}=(1+\sqrt 2)\cdot (a_n+\sqrt 2\cdot b_n),\\ a_{n+1}-\sqrt 2\cdot b_{n+1}=(1-\sqrt 2)\cdot (a_n-\sqrt 2\cdot b_n),\end{split}$$ 从而 $$\begin{split} a_n+\sqrt 2\cdot b_n=(1+\sqrt 2)^n,\\ a_n-\sqrt 2\cdot b_n=(1-\sqrt 2)^n,\end{split}$$ 从而选项 ABC 均错误． 对于选项 D，由于 $$b_{n+1}-b_n=a_n>0,$$ 于是 $\{b_n\}$ 是单调递增的正项数列，又 $$\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|=\dfrac{1}{b_n}\cdot |a_n-\sqrt 2\cdot b_n|,$$ 于是命题正确．

备注    事实上，有 $$\begin{split} a_n&=\dfrac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n}2,\\ b_n&=\dfrac{(1+\sqrt 2)^n-(1-\sqrt 2)^n}{2\sqrt 2},\\ \dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2&=\sqrt 2\cdot \dfrac{2\cdot (-1)^n}{(1+\sqrt 2)^{2n}-(-1)^n}.\\ \end{split}$$