每日一题[1255]二阶不动点

已知函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac{2a^2}{x}$（$a>0$），若方程 $f(f(x))=x$ 恰有两个实数解，则实数 $a$ 的可能取值是（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$9$

D．$11$

答案    D．

解析    函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增，于是方程 $f(f(x))=x$ 即 $f(x)=x$，也即 $$a\ln x-\dfrac{2a^2}{x}-x=0,$$ 记左边为函数 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x+a}{x^2}\cdot (2a-x),$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $(0,2a)$ 上单调递增，在 $(2a,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=2a$ 处取得极大值，亦为最大值 $$g(2a)=a(\ln(2a)-3),$$ 根据题意，有 $g(2a)>0$，于是 $$a>\dfrac 12{\rm e}^3.$$ 此时 $$\lim_{x\to 0+}g(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty,$$ 于是实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12{\rm e}^3,+\infty\right)$．由于 ${\rm e}^3=20.08\cdots$，于是符合题意的选项有 D．