每日一题[1243]削减变量

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则 $a^2+2b^2+3c^2$ 的最小值是_______．

答案    $8\sqrt{11}$．

解析    根据题意，有 $$\dfrac 12\cdot bc\cdot \sin A=2,$$ 且根据余弦定理和均值不等式，有 $$\begin{split} a^2+2b^2+3c^2&=3b^2+4c^2-2bc\cos A\\ &\geqslant bc\cdot \left(4\sqrt 3-2\cos A\right)\\ &=\dfrac{16\sqrt 3-8\cos A}{\sin A},\end{split}$$ 记右侧代数式为 $m$，则 $$m\sin A+8\cos A=16\sqrt 3,$$ 于是 $$m^2+8^2\geqslant (16\sqrt 3)^2,$$ 解得 $$m\geqslant 8\sqrt{11}.$$ 考虑到等号当 $$A=\arctan\sqrt{11}\land c=\dfrac{\sqrt 3}2b$$ 时可以取得，因此所求最小值为 $8\sqrt{11}$．