设正整数 d 不等于 2,5,13,求证在集合 {2,5,13,d} 中可以找到两个不同的元素 a,b,使得 ab−1 不是完全平方数.
解析 显然2⋅5−1=9,2⋅13−1=25,5⋅13−1=64,
均为完全平方数.假设 2d−1,5d−1,13d−1 均为完全平方数.注意到 2d−1 为奇数,于是2d−1=(2n−1)2,
解得d=2n2−2n+1,
其中 n∈N∗,因此 d 为奇数.此时{5d−1=10n2−10n+4,13d−1=26n2−26n+12,
注意到 10n2−10n+4 和 26n2−26n+12 均为偶数,于是设{5d−1=4p2,13d−1=4q2,
两式相减可得2d=(q−p)(q+p),
由于 q−p 与 q+p 的同奇同偶,而它们的乘积为偶数,于是必然同为偶数.因此 d 为偶数,矛盾. 综上所述,原命题得证.