每日一题[1241]完全平方数

设正整数 d 不等于 2,5,13,求证在集合 {2,5,13,d} 中可以找到两个不同的元素 a,b,使得 ab1 不是完全平方数.

解析    显然251=9,2131=25,5131=64,

均为完全平方数.假设 2d1,5d1,13d1 均为完全平方数.注意到 2d1 为奇数,于是2d1=(2n1)2,
解得d=2n22n+1,
其中 nN,因此 d 为奇数.此时{5d1=10n210n+4,13d1=26n226n+12,
注意到 10n210n+426n226n+12 均为偶数,于是设{5d1=4p2,13d1=4q2,
两式相减可得2d=(qp)(q+p),
由于 qpq+p 的同奇同偶,而它们的乘积为偶数,于是必然同为偶数.因此 d 为偶数,矛盾. 综上所述,原命题得证.

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