每日一题[1249]隐零点估计

求证：$x^2{\rm e}^x-\ln x-1>0$．

解法一    记 $f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x-1$，则导函数

$$f'(x)=\dfrac{(x^3+2x^2){\rm e}^x-1}{x},$$ 注意到 $$f'\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{5\sqrt{\rm e}-8}{4}>0,$$ 而函数 $$\varphi(x)=(x^3+2x^2){\rm e}^x-1$$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增，于是函数 $f(x)$ 有极小值点，亦为最小值点 $x=m$，满足 $m\in\left(0,\dfrac 12\right)$，且 $$(m^3+2m^2){\rm e}^m-1=0.$$ 因此函数 $f(x)$ 的最小值 $$\begin{split} f(m)&=m^2{\rm e}^m-\ln m-1\\ &=\dfrac{1}{m+2}-\ln m-1\\ &>\dfrac{1}{\dfrac 12+2}-\ln\dfrac 12-1\\ &=\ln 2-\dfrac 35\\ &>0,\end{split}$$ 原命题得证．

解法二    记 $f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x-1$，则导函数

$$f'(x)=\dfrac{(x^3+2x^2){\rm e}^x-1}{x},$$ 注意到 $$f'\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{5\sqrt{\rm e}-8}{4}\approx 0,$$ 因此考虑在 $x=\dfrac 12$ 处进行放缩，尝试证明 $$(x^2-1){\rm e}^x>\ln x+1-{\rm e}^x,$$ 又 $${\rm e}^x\geqslant \sqrt{\rm e}\cdot x+\dfrac 12\sqrt{\rm e},$$ 因此进而尝试证明 $$\left(x^2-1\right){\rm e}^x>\ln x-\sqrt{\rm e}\cdot x+1-\dfrac 12\sqrt{\rm e},$$ 而 $$\left(x^2-1\right){\rm e}^x\geqslant \left(x^2-1\right){\rm e}^x\Big|_{x=\frac 12}=-\dfrac 34\sqrt{\rm e},$$ 且 $$\ln x-\sqrt{\rm e}\cdot x+1-\dfrac 12\sqrt{\rm e}\leqslant \left(\ln x-\sqrt{\rm e}\cdot x+1-\dfrac 12\sqrt{\rm e}\right)\Big|_{x=\frac{1}{\sqrt{\rm e}}}=-\dfrac{1+\sqrt{\rm e}}2,$$ 事实上，有 $$-\dfrac 34\sqrt{\rm e}>-\dfrac{1+\sqrt{\rm e}}2,$$ 因此原命题得证．

解法三    根据题意，有

$$\dfrac{{\rm e}^x}{x}\geqslant {\rm e},$$ 而 $$\dfrac{\ln x+1}{x^3}\leqslant \dfrac{{\rm e}^2}3,$$ 因此原命题得证．