每日一题[1216]变换化简

设 $M(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）内部一点且 $M$ 位于第一象限，过点 $M$ 作直线交双曲线的右支于点 $A,B$，记 $O$ 为坐标原点，若 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$，则 $\dfrac{3x_0}a-\dfrac{y_0}b$ 的最小值为_______．

解    $4$．

由于伸缩变换和旋转变换并不影响问题的本质，因此问题可以改写为

新问题    设 $M(n,m)$（$m>n>0$）为双曲线 $E:y=\dfrac 1x$ 上方的点，过 $M$ 作直线与双曲线 $E$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点，此时

$$a=b=\sqrt 2,$$ 且 $x_0,y_0$ 分别为点 $M$ 到直线 $x+y=0$ 和 $x-y=0$ 的距离，因此 $$x_0=\dfrac{m+n}{\sqrt 2},y_0=\dfrac{m-n}{\sqrt 2},$$ 从而 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{4mn}$，所求代数式为 $m+2n$．

新问题的解    设 $AB:y=-k(x-n)+m$，其中 $k>0$，与双曲线方程联立，可得

$$kx^2-(m+nk)x+1=0,$$ 记 $\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}$，则根据三角形面积坐标公式可得 $\triangle AOB$ 的面积 $$S=\dfrac 12\left|\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\right|=\dfrac 12\left|\lambda-\dfrac{1}{\lambda}\right|,$$ 于是 $$4S^2+4=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)^2.$$ 根据韦达定理有 $$(m+nk)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)k,$$ 于是 $$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m^2}{k}+n^2k+2mn-2\geqslant 4mn-2,$$ 于是根据题意，有 $$4\cdot \left(\sqrt {4mn}\right)^2+4=(4mn-2)^2,$$ 解得 $$mn=2.$$ 因此 $$m+2n\geqslant 2\sqrt{m\cdot 2n}=4,$$ 等号当 $(m,n)=(2,1)$ 时取得，因此所求的最小值为 $4$．

注    当 $M$ 为弦 $AB$ 中点时，$\triangle AOB$ 的面积最小．