每日一题[1204]对数的进阶放缩

已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-ax+1$．

1、设 $a=0$，求不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集；

2、求证：对任意 $a>0$，都有 $f\left(\ln(1+a)\right)<0$；

3、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(t,\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)$，$f(x)$ 的值域为 $A$，试求对任意 $a>0$ 都有 $A\subseteq (-\infty,0)$ 的充要条件．

解    1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=x{\rm e}^x-a,$$ 当 $a=0$ 时，有 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow&0&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 此时题中不等式的解集为 $\{0\}$．

2、欲证结论即 $$\forall a>0,\left(\ln(1+a)-1\right)(1+a)-a\ln (1+a)+1<0,$$ 也即 $$\forall a>0,\ln(1+a)-a<0,$$ 于是原命题得证．

3、注意到 $f(0)=0$，且函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，于是 $t\geqslant 0$．又 $$f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)=1-a+{\rm e}^t\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)-1\right).$$ 考虑到当 $x>1$ 时，有 $$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},$$ 于是 $$f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)>1-a+{\rm e}^t\left[\dfrac{2\left({\rm e}^t+a-1\right)}{{\rm e}^t+a+1}-1\right]=\dfrac{\left({\rm e}^t-1\right)^2-a^2}{{\rm e}^t+a+1}.$$ 当 $t>0$ 时，取 $a={\rm e}^t-1$，则有 $$f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)>0,$$ 不符合题意．而当 $t=0$ 时，根据第 $(2)$ 小题的结论，满足题意． 综上所述，所求充要条件为 $t=0$．