每日一题[1202]构造反例

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，则下列命题正确的是（       ）

A．若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数

B．若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数

C．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调函数，则 $f(f(x))$ 也是 $\mathbb R$ 上的单调函数

D．若 $f(x)$ 存在反函数 $f^{-1}(x)$，且方程 $f(x)=f^{-1}(x)$ 有零点，则方程 $f(x)=x$ 也有零点

解    ABC．

选项 ABC 显然正确； 选项 D 的反例为

$$f(x)=\begin{cases} -\dfrac 1x,&x\ne 0,-1,\\ 1,&x=0,\\ 0,&x=-1,\end{cases}$$ 此时 $$f^{-1}(x)=\begin{cases} -\dfrac 1x,&x\ne 0,1,\\ -1,&x=0,\\ 0,&x=1.\end{cases}$$