每日一题[1205]双重最值

已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值．

解    $3-2\sqrt 2$．

猜想 $b=0$ 且此时 $$f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+c\right)$$ 的极大值与极小值互为相反数时 $M(b,c)$ 取得最小值．此时 $$\left(\dfrac{1+c}2\right)^2+c=0,$$ 解得 $$c=2\sqrt 2-3,$$ 且对应的 $$M\left(0,2\sqrt 2\right)=3-2\sqrt 2.$$ 接下来进行证明 $$\forall b,c\in\mathbb R,\exists x\in [-1,1],|f(x)|\geqslant 3-2\sqrt 2.$$ 考虑到该情形下极值点为 $x=\pm\sqrt{2-\sqrt 2},0$，于是 $$\begin{split} f\left(\sqrt {2-\sqrt 2}\right)&=\left(\sqrt 2-1\right)\left(2-\sqrt 2+\sqrt{2-\sqrt 2}\cdot b+c\right),\\ f\left(-\sqrt {2-\sqrt 2}\right)&=\left(\sqrt 2-1\right)\left(2-\sqrt 2-\sqrt{2-\sqrt 2}\cdot b+c\right),\\ f(0)&=c,\end{split}$$ 于是 $$\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}+\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}=2\sqrt 2+\left(2\sqrt 2-2\right)\cdot \dfrac{f(0)}{3-2\sqrt 2},$$ 若 $$-1< \dfrac{f(0)}{3-2\sqrt 2}< 1,$$ 则 $$2<\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}+\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}<4\sqrt 2-2,$$ 于是必然有 $$\max\left\{\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2},\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}\right\}>1,$$ 因此结论得证． 综上所述，$M(b,c)$ 的最小值为 $3-2\sqrt 2$，当 $(b,c)=\left(0,2\sqrt 2-3\right)$ 时取得．

练习    已知 $a,b\in\mathbb R$，$c$ 是常数，函数 $f(x)=\left|x^2+ax+b\right|$ 在 $[0,c]$ 上的最大值 $M(a,b)$ 的最小值为 $2$，则当 $M(a,b)=2$ 时，$a+b+c=$ _______．

解    $2$．

考虑 $$\begin{split} f(0)&=|b|,\\ f\left(\dfrac c2\right)&=\left|\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right|,\\ f(c)&=\left|c^2+ac+b\right|,\end{split}$$ 由于 $$1\cdot b-2\cdot \left(\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right)+1\cdot \left(c^2+ac+b\right)=\dfrac 12c^2,$$ 于是 $$\dfrac 12c^2\leqslant 1\cdot f(0)+2\cdot f\left(\dfrac c2\right)+1\cdot f(c),$$ 从而 $$M(b,c)\geqslant\min\left\{f(0),f\left(\dfrac c2\right),f(c)\right\}\geqslant \dfrac 18c^2,$$ 等号取得的条件为 $$f(0)=f\left(\dfrac c2\right)=f(c),$$ 也即 $$\begin{cases} a=-c,\\ b=\dfrac 18c^2,\end{cases}$$ 因此根据题意，有 $c=4$，此时 $a=-4$，$b=2$，从而 $$a+b+c=2.$$