每日一题[1194]沉心静气

设函数 $f(x)=x^3+bx+c$，$\eta,\xi$ 是方程 $f(x)=0$ 的根，且 $f'(\xi)=0$，当 $0<\xi-\eta<1$ 时，关于函数 $g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+(b+2)x+(c-b+\eta)\ln x+d$ 在区间 $(\eta+1,\xi+1)$ 内的零点个数的说法中，正确的是（       ）

A．至少有一个零点

B．至多有一个零点

C．可能存在 $2$ 个零点

D．可能存在 $3$ 个零点

解    B．

根据题意，有

$$f(x)=(x-\xi)^2(x-\eta),$$ 也即 $$f(x)=x^3-\left(2\xi+\eta\right)x^2+\xi\left(\xi+2\eta\right)x-\xi^2\eta,$$ 于是 $$\eta=-2\xi,b=-3\xi^2,c=2\xi^3.$$ 问题转化为研究当 $0<\xi<\dfrac 13$ 时，函数 $$g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+\left(-3\xi^2+2\right)x+\left(2\xi^3+3\xi^2-2\xi\right)\ln x+d,$$ 在区间 $\left(-2\xi+1,\xi+1\right)$ 内的零点个数．函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-\left(3\xi^2-2\right)x+2\xi^3+3\xi^2-2\xi}x,$$ 也即 $$g'(x)=\dfrac{(x-\xi)(x+2\xi-1)(x-\xi-2)}{x},$$ 由于 $0<\xi <\dfrac 13$，于是 $$\xi<-2\xi -1<\xi +2,$$ 于是在区间 $(-2\xi+1,\xi+1)$ 内 $g'(x)<0$，函数 $g(x)$ 单调递减，因此正确的选项为 B．