已知 a,b,c 是正数，且 abc⩽1，求证：a+bc+b+ca+c+ab⩾2(a+b+c)．
解 只需要证明a+bc+b+ca+c+ab⩾2(a+b+c)3√abc,
也即ab+bc+caabc⋅(a+b+c)−2(a+b+c)3√abc−3⩾0.
根据排序不等式，有(ab+bc+ca)2⩾3abc(a+b+c),
于是只需要证明√3⋅(a+b+c3√abc)32−2⋅a+b+c3√abc−3⩾0,
令t=(a+b+c33√abc)12,
上述不等式即9t3−6t2−3⩾0,
也即3(t−1)(3t2+t+1)⩾0,
而根据均值不等式，有a+b+c⩾33√abc,
于是原命题得证．
再试一下
只需要证明
a+b+cc+a+b+ca+a+b+cb−3≥2(a+b+c)3√abc,
即
(a+b+c)(1a+1b+1c−23√abc)≥3.
根据均值不等式，有
a+b+c≥33√abc,1a+1b+1c−23√abc≥33√abc−23√abc=13√abc.
于是原不等式成立。
漂亮~
一遇到不等式 我就完蛋了……哎