每日一题[1195]两根商的韦达定理

已知双曲线 $C:x^2-\dfrac{y^2}3=1$，动直线 $y=-2x+m$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的上方），且与 $y$ 轴交于点 $M$，则 $\dfrac{|MB|}{|MA|}$ 的取值范围为_______．

ph1994-p00610

解    $\left(1,7+4\sqrt 3\right)$

设 $\dfrac{|MB|}{|MA|}=\lambda$（$\lambda> 1$），联立直线与双曲线方程，有 $$x^2-4mx+m^2+3=0,$$ 其判别式 $$\Delta=12\left(m^2-1\right),$$ 因此 $m^2>1$．又根据韦达定理，有 $$(-4m)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\cdot 1\cdot \left(m^2+3\right),$$ 于是 $$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{16m^2}{m^2+3}-2,$$ 从而 $\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$ 的取值范围是 $(2,14)$，因此 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(1,7+4\sqrt 3\right)$．