已知双曲线 C:x2−y23=1,动直线 y=−2x+m 与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点(A 在 B 的上方),且与 y 轴交于点 M,则 |MB||MA| 的取值范围为_______.
解 (1,7+4√3)
设 |MB||MA|=λ(λ>1),联立直线与双曲线方程,有x2−4mx+m2+3=0,
其判别式Δ=12(m2−1),
因此 m2>1.又根据韦达定理,有(−4m)2=(λ+1λ+2)⋅1⋅(m2+3),
于是λ+1λ=16m2m2+3−2,
从而 λ+1λ 的取值范围是 (2,14),因此 λ 的取值范围是 (1,7+4√3).