每日一题[1193]切线放缩

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若 ${\rm e}^x-2x\ln x-kx-1\geqslant 0$ 对任意实数 $x>0$ 都成立，记 $k$ 的最大值为 $\lambda$，求证：$\lambda >1.3$．

解    1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-1)+1}{x^2},$$ 设 $$\varphi(x)={\rm e}^x(x-1)+1,$$ 则其导函数 $$\varphi'(x)={\rm e}^x\cdot x,$$ 于是 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值，亦为最小值 $$\varphi(0)=0,$$ 因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上 均单调递增．

注    事实上，若补充定义 $f(0)=1$，则 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．

2、根据题意，有

$$\forall x>0,{\rm e}^x-2x\ln x-kx-1\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall x>0,k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x}-2\ln x,$$ 设不等式右侧函数为 $\mu(x)$，则其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{1+{\rm e}^x(x-1)-2x}{x^2},$$ 其极值点在 $x=1$ 附近．因此考虑在 $x=1$ 处进行切线放缩，有 $$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2,$$ 证明从略．此时有 $$\mu(x)\geqslant x+{\rm e}-2-2\ln x,$$ 设右侧函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=1-\dfrac 2x,$$ 因此 $h(x)$ 在 $x=2$ 处取得极小值，亦为最小值 $$h(2)={\rm e}-2\ln2>\dfrac{65}{24}-2\cdot \dfrac{25}{36}=\dfrac{95}{72}>1.3,$$ 因此原命题得证．