每日一题[1173]级数不等式

已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\dfrac 23$，$a_2=\dfrac89$．当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时，有 $3a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$．

1、证明：$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 为等比数列；

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

3、若对任意 $n\in \mathbb N^\ast$ 有 $\lambda a_1a_2\dots a_n\geqslant 1$ 均成立，其中 $\lambda\in\mathbb N^\ast$，求 $\lambda$ 的最小值．

解    1、根据题意有$$3\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a_n-a_{n-1},$$于是 $\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 是等比数列，且该等比数列的首项为 $a_2-a_1$ 即 $\dfrac29$，公比为 $\dfrac13$．

2、结合第 $(1)$ 小题的结论有$$a_{n+1}-a_n=\dfrac2{3^{n+1}},n\in\mathbb N^\ast,$$由累加法可得$$a_n=1-\dfrac1{3^n},n\in\mathbb N^\ast.$$

3、即求最小正整数 $\lambda$ 使得$$\forall n\in\mathbb N^\ast,\prod_{i=1}^na_i\geqslant\dfrac1{\lambda},$$当 $n=1$ 时，有$$ a_1\geqslant\dfrac1{\lambda},$$而 $a_1=\dfrac23$，因此 $\lambda\geqslant \dfrac32$，又考虑到 $\lambda\in\mathbb N^\ast$ 于是必有$$\lambda\geqslant 2.$$当 $\lambda=2$ 时，由伯努利不等式有$$\begin{split} \prod_{i=1}^na_i&=\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac1{3^i}\right)\\ &\geqslant 1-\sum_{i=1}^n\dfrac1{3^i}\\ &=\dfrac12+\dfrac1{2\cdot3^n}\\ &>\dfrac12. \end{split} $$因此 $\lambda=2$ 时符合题意，故 $\lambda$ 的最小值为 $2$．

另法    即求最小正整数 $\lambda$ 使得$$\forall n\in\mathbb N^\ast,\prod_{i=1}^na_i\geqslant\dfrac1{\lambda},$$当 $n=1$ 时，有$$ a_1\geqslant\dfrac1{\lambda},$$而 $a_1=\dfrac23$，因此 $\lambda\geqslant \dfrac32$，又考虑到 $\lambda\in\mathbb N^\ast$ 于是必有$$\lambda\geqslant 2.$$易证$$\forall n\geqslant 2,1-\dfrac1{3^n}>\dfrac{1+\dfrac1{3^n}}{1+\dfrac1{3^{n-1}}},$$其中 $n\in \mathbb N^\ast$，于是当 $\lambda=2$ 时$$\begin{split} \prod_{i=1}^na_i&=a_1\cdot\prod_{i=2}^n\left(1-\dfrac1{3^i}\right)\\ &>a_1\cdot\prod_{i=2}^n\dfrac{1+\dfrac1{3^n}}{1+\dfrac1{3^{n-1}}}\\ &=\dfrac12\left(1+\dfrac1{3^n}\right)\\ &>\dfrac 12. \end{split} $$故符合题意的 $\lambda$ 的最小值为 $2$．