每日一题[1175]双重最值

若 $a,b,c$ 均为正实数，且记 $m=\mathrm{min}\left\{\dfrac1a,\dfrac1{b^2},\dfrac1{c^3},a+b^2+c^3\right\}$，则 $m$ 的最大值为_______．

解    根据题意，有

$$\begin{split} m&\leqslant \dfrac 1a,\\ m&\leqslant \dfrac{1}{b^2},\\ m&\leqslant \dfrac{1}{c^3},\\ m&\leqslant a+b^2+c^3,\end{split}$$ 于是 $$m\leqslant a+b^2+c^3\leqslant\dfrac 1m+\dfrac 1m+\dfrac 1m,$$ 解得 $m\leqslant \sqrt 3$，等号当 $a=b^2+c^3=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\sqrt 3$．

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练习    已知 $x,y$ 是正实数，且 $m=\mathrm{min}\left\{x,\dfrac1y,\dfrac1x+y\right\}$，则 $m$ 的最大值为_______．

解    根据题意有

$$\begin{cases} x\geqslant m,\\ \dfrac1y\geqslant m,\\\dfrac1x+y\geqslant m. \end{cases}$$ 所以 $$\begin{cases} \dfrac1m\geqslant\dfrac1x,\\\dfrac1m\geqslant y.\end{cases}$$ 于是有 $$\dfrac2m\geqslant\dfrac1x+y\geqslant m,$$ 解得 $m\leqslant\sqrt2$，等号当 $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt2}2,\sqrt2\right)$ 时取得，因此 $m$ 的最大值是 $\sqrt2$．