每日一题[1170]构造图形

已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，则关于 $x,y$ 的方程组

$| x \cos α + y \sin α + 1 | = | x \cos β + y \sin β + 1 | = | x \cos γ + y \sin γ + 1 |$

$|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|$ 的解的组数可能为（）

A． $0$

B． $1$

C． $2$

D． $4$

解答案是 CD．

设直线 $l_1,l_2,l_3$ 分别为

\begin{aligned} l_{1} & : x \cos α + y \sin α + 1 = 0, \\ l_{2} & : x \cos β + y \sin β + 1 = 0, \\ l_{3} & : x \cos γ + y \sin γ + 1 = 0, \end{aligned}

$\begin{split} l_1&:x\cos\alpha+y\sin\alpha+1=0,\\ l_2&:x\cos\beta+y\sin\beta+1=0,\\ l_3&:x\cos\gamma+y\sin\gamma+1=0,\end{split}$ 则题意即点

P (x, y)

$P(x,y)$ 到三条直线的距离相等．注意到原点

O

$O$ 到直线

l_{1}, l_{2}, l_{3}

$l_1,l_2,l_3$ 的距离均为

1

$1$ ，且

α, β, γ \in [0, 2 π)

$\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，因此

l_{1}, l_{2}, l_{3}

$l_1,l_2,l_3$ 是单位圆的三条不同的切线．

情形一 三条切线两两相交．此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $4$ 个，为这三条切线围成三角形的内心和 $3$ 个旁心．

情形二 三条切线有两条互相平行，另一条与这两条切线相交．此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $2$ 个．综上所述，题中方程组的解的组数可能为 $2$ 或 $4$ ．

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