每日一题[1168]迭代函数

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，则（        ）

A．若 $f(f(x))>x$，则 $f(f(x))>f(x)$

B．若 $f(f(x))>f(x)$，则 $f(x)>x$

C．若 $f(f(x))>f(x)$，则 $f(f(f(x)))>f(x)$

D．若 $f(f(f(x)))>f(x)$，则 $f(f(x))>f(x)$

解    对于选项 A，取

$$f(x)=\begin{cases} x+2,&x\ne 0,\\ -1,&x=0,\end{cases}$$ 则 $$f(f(x))=\begin{cases} x+4,& x\ne 0, -2,\\ -1,& x=-2,\\ 1,&x=0,\end{cases}$$ 此时有 $$\forall x\in\mathbb R,f(f(x))>x,$$ 但 $$f(f(-2))=-1<f(-2)=0,$$ 命题错误．

对于选项 B，取

$$f(x)=\begin{cases} -\dfrac 12 |x|,&x\ne 0,\\ -1,&x=0,\end{cases}$$ 则 $$f(f(x))=\begin{cases} -\dfrac 14|x|,&x>0,\\ -\dfrac 12,&x=0,\end{cases}$$ 此时有 $$\forall x\in\mathbb R,f(f(x))>f(x),$$ 但 $$f(1)=-\dfrac 12<1,$$ 命题错误．

对于选项 C，设 $E$ 为函数 $f(x)$ 的值域，则

$$\forall x\in E,f(x)>x,$$ 而 $$\forall x\in \mathbb R,f(f(x))\in E,$$ 于是 $$\forall x\in \mathbb R,f(f(f(x)))>f(f(x)),$$ 从而 $$\forall x\in \mathbb R,f(f(f(x)))>f(x),$$ 命题正确．

对于选项 D，与选项 A 相同，此时有

$$f(f(f(x)))=\begin{cases} x+6,&x\ne 0,-2,-4,\\ -1,& x=-4,\\ 1,&x=-2,\\ 3,&x=0,\end{cases}$$ 从而有 $$\forall x\in\mathbb R,f(f(f(x)))>f(x),$$ 但 $$f(f(-2))=-1<f(-2)=0,$$ 命题错误．