每日一题[1159]水来土掩

设函数 $f(x)=x^2-ax+b$，其中 $a,b$ 为实数．

（1）当 $a=2$ 时，记函数 $|f(x)|$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $g(b)$，求 $g(b)$ 的最小值；

（2）存在实数 $a$，使得当 $x\in [0,b]$ 时，$2\leqslant f(x)\leqslant 6$ 恒成立，求 $b$ 的最大值及此时 $a$ 的值．

解    （1）根据题意，有 $$f(x)=x^2-2x+b,$$ 于是函数 $|f(x)|$ 在 $[0,4]$ 上的最大值 $$\begin{split} g(b)&=\max\left\{|f(0)|,|f(1)|,|f(4)|\right\}\\ &=\max \left\{|b|,|b-1|,|b+8|\right\}\\ &=\begin{cases} 1-b,&b<-\dfrac 72,\\ b+8,&b\geqslant -\dfrac 72,\end{cases},\end{split}$$ 其最小值为 $$g\left(-\dfrac 72\right)=\dfrac 92.$$
（2）根据题意，有 $$\begin{cases} 2\leqslant f(0)\leqslant 6,\\ 2\leqslant f(b)\leqslant 6,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} 2\leqslant b\leqslant 6,\\ 2\leqslant b^2-ab+b\leqslant 6.\end{cases}$$
情形一 $a\leqslant 0$．此时 $$6\geqslant b^2-ab+b\geqslant b^2+b,$$ 于是 $b\leqslant 2$．

情形二 $0<\dfrac a2\leqslant b$．此时 $$2\leqslant f\left(\dfrac a2\right)\leqslant 6,$$ 也即 $$2\leqslant b-\dfrac {a^2}4\leqslant 6,$$ 从而 $$a\leqslant 2\sqrt{b-2},$$ 这样就有 $$6\geqslant b^2-ab+b\geqslant b^2-2\sqrt{b-2}\cdot b+b,$$ 令 $t=\sqrt{b-2}$，整理得 $$t(t-1)\left(t^2-t+4\right)\leqslant 0,$$ 于是 $$0\leqslant t\leqslant 1,$$ 从而 $b\leqslant 3$，等号当 $b=3$，$a=2$ 时取得．

情形三 $\dfrac a2>b$．此时 $$2\leqslant b^2-ab+b\leqslant b^2-2b\cdot b+b=-b^2+b,$$ 矛盾．

综上所述，$b$ 的最大值为 $3$，此时 $a$ 的值为 $2$．