每日一题[1157]有界配可裂

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积 $T_n$ 满足 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 是首项为 $2$ 的等差数列，且 $T_2-T_5=\dfrac 16$．
（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\sqrt{\dfrac n{n+2}}-a_n$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：对任意正整数 $n$，有 $0<S_n<\dfrac 14$．

分析与解　（1）设数列 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 的公差为 $d$，根据题意，有 $$\dfrac{1}{T_5}-\dfrac{1}{T_2}=\dfrac 16\cdot \dfrac{1}{T_2}\cdot \dfrac{1}{T_5},$$ 于是 $$3d=\dfrac 16(2+d)(2+4d),$$ 解得 $d=1$，因此 $$\dfrac{1}{T_n}=n+1,n\in\mathbb N^{\ast},$$ 从而 $$a_n=\begin{cases} T_1,&n=1,\\ \dfrac{T_n}{T_{n-1}},&n\geqslant 2,\end{cases}$$ 整理可得 $$a_n=\dfrac{n}{n+1},n\in \mathbb N^{\ast}.$$
（2）根据题意，有 $$\begin{split} b_n&=\sqrt{\dfrac{n}{n+2}}-\dfrac{n}{n+1}\\&=\dfrac{\dfrac{n}{n+2}-\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2}{\sqrt{\dfrac n{n+2}}+\dfrac{n}{n+1}}\\&=\dfrac{\dfrac{n}{(n+2)(n+1)^2}}{\sqrt{\dfrac n{n+2}}+\dfrac{n}{n+1}},\end{split}$$ 因而有 $$\begin{split}0<b_n=&\dfrac{\dfrac{n}{n+1}}{\sqrt{\dfrac{n}{n+2}}+\dfrac{n}{n+1}}\cdot \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\<&\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right),\end{split}$$ 累加即得 $$0<S_n<\dfrac 14,$$ 故原命题得证．

注　通常需要将代数式转化为有界部分与可裂项部分之积．