已知函数 f(x)=lnx+(e−a)x−2b，若不等式 f(x)⩽0 对 x∈(0,+∞) 恒成立，则 ba 的最小值等于________．
正确答案是−12e．
分析与解 先进行端点分析，有limx→0+f(x)=−∞,limx→+∞f(x)={+∞,e−a⩾0,−∞,e−a<0,
因此 a>e．此时函数 f(x) 的导函数f′(x)=1x+e−a,
因此当 x=1a−e 时函数 f(x) 取得极大值，亦为最大值f(1a−e)=ln1a−e−2b−1.
根据题意，有ln1a−e−2b−1⩽0,
于是ba⩾ln1a−e−12a,
记右侧函数为 φ(a)，则其导函数φ′(a)=(a−e)ln(a−e)−e2(a−e)a2.
当 a∈(e,e+1) 时，有(a−e)ln(a−e)−e<0−e<0.
当 a∈(e+1,+∞) 时，(a−e)ln(a−e) 单调递增，因此关于 a 的方程(a−e)ln(a−e)−e=0
有唯一零点 a=2e．因此 φ(a) 在 (e,2e) 上单调递减，在 (2e,+∞) 上单调递增，在 a=2e 时取得极小值，亦为最小值φ(2e)=−12e.
综上所述，ba 的最小值为 −12e，当 a=2e 时取得．
想通了，只要b/a能取到这个最小值即可。
如果从左边函数图像始终在右边函数图像上方来理解，我用几何画板画图好像也看不出。你看看，可能我想错了!
呃 我感觉没啥问题呀。毕竟假如固定a的话 b/a最小值就是看右边函数的值。所以a动起来的话。就是看右边最小值。你看看我说的对嘛……
兰老师，此题解答最后的部分好像有点问题：b/a是关于a的函数，-（ln(a-e)+1）/2a也是关于a的函数，都在动。