每日一题[1143]代数式的最值

已知实数 $a,b\in(0,1)$ 且 $ab=\dfrac14$，则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为______．

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正确答案是$4+\dfrac{4\sqrt2}{3}$．

分析与解　法一　根据题意，有

$$\begin{split}m=&\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2}{1-b}\\=&\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}\\=&\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1},\end{split}$$ 其中 $a\in\left(\dfrac 14,1\right)$．令 $1-a=x$，$4a-1=y$，则 $$a=\dfrac{x+y}3,1=\dfrac{4x+y}3,$$ 因此 $$\begin{split}m=&\dfrac{4x+y}{3x}+\dfrac{8(x+y)}{3y}\\=&4+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{8x}{3y}\\\geqslant& 4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\end{split}$$ 等号当 $y=2\sqrt 2x$，即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得．因此所求代数式的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$．

法二　根据题意，有

$$\begin{split} m&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2}{1-b}\\&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}\\&=\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1}\\&=2+\dfrac{4}{4-4a}+\dfrac{2}{4a-1}\\&\geqslant 2+\dfrac{\left(2+\sqrt 2\right)^2}{3}\\&=4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\end{split}$$ 等号当 $$\dfrac{2}{4-4a}=\dfrac{\sqrt 2}{4a-1},$$ 即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得．因此所求的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$．