每日一题[1140]寻找递推关系

定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)\neq1$，且对 $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$，有 $f\left(n\right)+f\left(n+1\right)$ $+f(f(n))=3n+1$，则 $f(2015)=$_______．

---

正确答案是$2016$．

分析与解　根据题意，当 $n=1$ 时有

$$f(1)+f(2)+f(f(1))=4,$$ 因此 $f(1)=2$，$f(2)=1$．接下来证明 $$f(n)=\begin{cases} n+1,&2 \nmid n,\\ n-1 & 2\mid n.\end{cases}$$
归纳基础　当 $n=1,2$ 时，命题显然成立．

递推证明　假设当 $n\leqslant k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时命题成立，则有

$$f(k)+f(k+1)+f(f(k))=3k+1,$$ 也即 $$\begin{split} f(k+1)&=3k+1-f(k)-f(f(k))\\&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),& 2\nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-f(k-1),& 2\mid k,\end{cases}\\&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),&2 \nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-k,&2\mid k,\end{cases}\end{split}$$ 从而有 $$f(k+1)=\begin{cases} (k+1)-1,& 2\mid (k+1),\\ (k+1)+1,& 2\nmid (k+1),\end{cases}$$ 于是命题对 $n=k+1$ 也成立．

因此 $f(2015)=2016$．