每日一题[1137]系数配凑

已知实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+2y^2+3z^2=4,$ 若 $T=xy+yz,$ 则 $T$ 的取值范围是（　　）
A．$\left[-\dfrac{\sqrt6}3,\dfrac{\sqrt6}3\right]$
B．$\left[-\dfrac{\sqrt6}6,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$
C．$\left[-\dfrac{\sqrt6}3,\dfrac{\sqrt3}3\right]$
D．$\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$

 正确答案是D．

分析与解　根据题意，有 $$\begin{split} 4&=x^2+2y^2+3z^2\\&=x^2+\lambda y^2 +(2-\lambda)y^2+3z^2\\&\geqslant 2\sqrt{\lambda}|xy|+2\sqrt{3(2-\lambda)}|yz|,\end{split}$$ 令 $$2\sqrt{\lambda}=2\sqrt{3(2-\lambda)},$$ 解得 $$\lambda=\dfrac 32,$$ 于是可得 $$4\geqslant \sqrt 6\left(|xy|+|yz|\right).$$ 因此当 $x,y,z$ 同号时，$T$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 6}3$；当 $x,z$ 同号且与 $y$ 异号时，$T$ 取得最小值 $-\dfrac{2\sqrt 6}3$．结合连续性可知 $T$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$．