每日一题[1136]强强联手

函数 $f(x)=-x^2+3x+a$，$g(x)=2^x-x^2$，若 $f(g(x))\geqslant 0$ 对于 $x\in[0,1]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A．$[-\mathrm{e},+\infty)$
B．$[-\ln 2,+\infty)$
C．$[-2,+\infty)$
D．$\left(-\dfrac12,0\right]$

正确答案是C．

分析与解　根据题意有 $$\begin{cases} f(g(0))\geqslant 0,\\ f(g(1))\geqslant 0,\end{cases}$$ 解得 $a\geqslant -2$．

当 $a\geqslant -2$ 时，$f(t)\geqslant 0$ 的解集必然包含 $[1,2]$．接下来尝试证明 $$\forall x\in [0,1],1\leqslant 2^x-x^2\leqslant 2,$$ 也即 $$\forall x\in [0,1],\ln\left(x^2+1\right)\leqslant x\ln 2\leqslant \ln \left(x^2+2\right).$$
左侧不等式　记 $$\varphi(x)=\ln \left(x^2+1\right)-x\ln 2,$$ 则其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-\ln 2,$$ 函数 $\varphi'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此 $\varphi(x)$ 的最大值在区间端点处取得，而 $$\varphi(0)=\varphi(1)=0,$$ 因此左侧不等式在 $[0,1]$ 上恒成立．

右侧不等式　记 $$\mu(x)=\ln\left(x^2+2\right)-x\ln 2,$$ 则其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}-\ln 2,$$ 函数 $\mu'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，于是 $$\mu'(x)\leqslant \mu'(1)=\dfrac 23-\ln 2<0,$$ 因此函数 $\mu(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，进而 $$\mu(x)\geqslant \mu(1)=\ln 3-\ln 2>0,$$ 因此右侧不等式在 $[0,1]$ 上恒成立．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-2,+\infty\right)$．

其它解法　得到 $a\geqslant 2$ 后也可以直接研究函数 $g(x)=2^x-x^2$，证明 $g(x)\in[1,2]$．

对 $g(x)$ 求导得 $$g'(x)=2^x\ln2-2x,g''(x)=2^2(\ln 2)^2-2,$$ 于是 $g''(x)$ 是增函数，而 $g''(1)<0$，所以 $g'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减．又 $g'(0)>0,g'(1)<0$，所以 $g'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一的零点 $m$，且 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 单调递增，在 $(m,1)$ 单调递减，而 $g(0)=g(1)=1$，所以 $g(x)\geqslant 1$，下面证明 $g(x)\leqslant 2$ 即可．从而 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 有最大值 $g(m)=2^m-m^2$，且满足 $$2^m\ln 2=2m,m\in(0,1).$$ 从而得到 $$g(m)=-m^2+\dfrac 2{\ln 2}m=-\left(m-\dfrac 1{\ln 2}\right)^2+\dfrac 1{(\ln 2)^2},$$ 因为 $\dfrac 1{\ln 2}>1$，所以 $$g(m)<g(1)=-1+\dfrac 2{\ln 2}<-1+\dfrac 2{2/3}=2.$$ 最后一步用到了 $\ln 2>2\cdot\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac 23$．