每日一题[1135]摸着石头过河

已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根，且 $1<x_1<x_2<2$，$a,b,c\in \mathbb Z$．则当正整数 $a$ 取得最小值时，$b+c$ 的值为 （　　）
A．$-5$
B．$-4$
C．$-1$
D．$3$

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正确答案是B．

分析与解　设 $f(x)=ax^2+bx+c$，根据题意，有

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$$ 考虑到 $f(1),f(2)$ 均为整数，因此 $$f(1)\cdot f(2)\geqslant 1,$$ 即 $$a^2(x_1-1)(x_2-1)(2-x_1)(2-x_2)\geqslant 1,$$ 因此 $$a^2\geqslant \dfrac{1}{(x_1-1)(x_2-1)(2-x_1)(2-x_2)}> 16,$$ 从而 $a\geqslant 5$．接下来探索当 $a=5$ 时是否有满足题意的 $b,c$，以及它们可能的值．

当 $a=5$ 时，有

$$1\leqslant f(1)\cdot f(2)=25(x_1-1)(x_2-1)(2-x_1)(2-x_2)<\dfrac{25}{16},$$ 因此必然有 $$f(1)=f(2)=1,$$ 此时 $$f(x)=5(x-1)(x-2)+1,$$ 也即 $$f(x)=5x^2-15x+11,$$ 其判别式 $\Delta>0$，符合题意．

因此 $(b,c)=(-15,11)$，进而 $b+c=-4$．