每日一题[1134]整除中的计数

求使得 k22004k 是正整数的正整数 k 的个数.


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正确答案是4

分析与解 设 m=k22004kN,则(k1002m)(k1002+m)=10022=22321672,x=k1002+my=k1002m,则(k,m)=(x+y2+1002,xy2),于是奇偶相同且 x>y 的一组 (x,y) 与一组 (k,m) 对应.显然因子 2 必然分配给 x,y 各一个.

情形一  x 中包含两个 167.此时符合题意的有 3 组解.

情形二  x 中包含一个 167.此时符合题意的有 1 组解.

综上所述,符合题意的 k4 个.

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