求使得 √k2−2004k 是正整数的正整数 k 的个数.
正确答案是4.
分析与解 设 m=√k2−2004k∈N∗,则(k−1002−m)(k−1002+m)=10022=22⋅32⋅1672,令 x=k−1002+m,y=k−1002−m,则(k,m)=(x+y2+1002,x−y2),于是奇偶相同且 x>y 的一组 (x,y) 与一组 (k,m) 对应.显然因子 2 必然分配给 x,y 各一个.
情形一 x 中包含两个 167.此时符合题意的有 3 组解.
情形二 x 中包含一个 167.此时符合题意的有 1 组解.
综上所述,符合题意的 k 有 4 个.