每日一题[1132]分式邂逅三角

已知 $f(x)=\dfrac{3+2\cos x+\sin x}{(\cos x+2)^2}$，则函数 $f(x)$ 的值域是______．

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正确答案是$\left[\dfrac 12,\dfrac{25}{18}\right]$．

分析与解　根据题意，有

$$\begin{split} 3+2\cos x+\sin x&=\dfrac{\cos^2x+4\cos x+4+\sin^2x+2\sin x+1}2\\&=\dfrac{(\cos x+2)^2+(\sin x+1)^2}2,\end{split}$$ 于是 $$y=\dfrac 12+\dfrac 12\left(\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2}\right)^2.$$ 令 $$t=\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2},$$ 则 $$\sin x-t\cos x=2t-1,$$ 于是 $$1+t^2\geqslant (2t-1)^2,$$ 解得 $$0\leqslant t\leqslant \dfrac 43,$$ 进而可得所求值域为 $\left[\dfrac 12,\dfrac{25}{18}\right]$．

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下面给出一道练习：

已知函数 $f(x)=\dfrac{\sin x-a}{\cos x+\sqrt2}+bx$ 在 $\mathbb R$ 上有最大值 $1$，则 $a+b=$______．

正确答案是$0$．

解　函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，由于函数 $f(x)$ 有上界，因此 $b=0$．考虑

$$\dfrac{\sin x-a}{\cos x+\sqrt 2}\leqslant 1,$$ 即 $$\sin x-\cos x\leqslant \sqrt 2+a,$$ 该不等式恒成立且等号可以取得，因此 $a=0$．

综上所述，可得 $(a,b)=(0,0)$，于是 $a+b=0$．