每日一题[1115]有章可循

已知函数 f(x)={12x,x>0,ex,x0, 若关于 x 的方程 f(f(x))=m 恰有两个实数解x1,x2,则 4x1+x2 的最小值为_______.


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正确答案是44ln2

分析与解 函数 f(x) 的图象如图.

根据题意,方程 f(t)=m[1,+) 上有一个实数解.于是 me,进而 t1,两个实数解分别为 ln(t)2t.问题即求φ(t)=4ln(t)2t

(,1] 上的最小值.

函数 φ(t) 的导函数φ(t)=2t+4t,

因此当 t=2 时,函数 φ(t) 取得最小值φ(2)=44ln2.
此时 m=f(2)=e2


下面给出一道练习:

已知函数 f(x)={|log3x|,0<x3,x+4,x>3,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c),则 (ab+2)c 的取值范围是________.

正确答案是(27,81)

函数 f(x) 的图象如下.
f(a)=f(b)=f(c)=m,则log3a=m,log3b=m,c+4=m,

因此(ab+2)c=(3m3m+2)4m=34m,
其中 0<m<1.因此所求代数式的取值范围是 (27,81)

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