已知函数 f(x)={−12x,x>0,−e−x,x⩽0, 若关于 x 的方程 f(f(x))=m 恰有两个实数解x1,x2,则 4x1+x2 的最小值为_______.
正确答案是4−4ln2.
分析与解 函数 f(x) 的图象如图.
根据题意,方程 f(t)=m 在 [−1,+∞) 上有一个实数解.于是 m⩽−e,进而 t⩽−1,两个实数解分别为 −ln(−t) 和 −2t.问题即求φ(t)=−4ln(−t)−2t
在 (−∞,−1] 上的最小值.
函数 φ(t) 的导函数φ′(t)=−2t+4t,
因此当 t=−2 时,函数 φ(t) 取得最小值φ(−2)=4−4ln2.
此时 m=f(−2)=−e2.
下面给出一道练习:
已知函数 f(x)={|log3x|,0<x⩽3,−x+4,x>3, 若 a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c),则 (ab+2)c 的取值范围是________.
正确答案是(27,81).
函数 f(x) 的图象如下.
设 f(a)=f(b)=f(c)=m,则−log3a=m,log3b=m,−c+4=m,
因此(ab+2)c=(3−m⋅3m+2)4−m=34−m,
其中 0<m<1.因此所求代数式的取值范围是 (27,81).