每日一题[1111]三角形形状探索

设$\triangle ABC$的周长为$12$，内切圆的半径为$1$，则（        ）

A．$\triangle ABC$必为直角三角形
B．$\triangle ABC$必为锐角三角形
C．$\triangle ABC$必为直角三角形或锐角三角形
D．以上结论都不对

正确答案是 D．

分析与解    容易联想到边长分别为$3,4,5$的直角三角形，其内切圆半径为$1$．在此基础上，容易调整出锐角三角形，因此问题的关键在于如何通过调整论证钝角三角形的可能性．

调整方案一　根据题意，有 $$\dfrac{1}{\tan\dfrac A2}+\dfrac{1}{\tan \dfrac B2}+\dfrac{1}{\tan \dfrac C2}=6,$$ 设$\tan \dfrac A2=m$，$\tan\dfrac B2=n$，则 $$\dfrac{1}{\tan \dfrac C2}=\dfrac{m+n}{1-mn},$$ 因此 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n+\dfrac{m+n}{1-mn}=6,$$ 整理得 $$6m^2n^2+(1-6m)n+m=0,$$ 其判别式 $$\Delta=(1-6m)^2-24m^3.$$

注意到当$m=1$，即$A=\dfrac{\pi}2$时，$\Delta=1$，因此可以适当调整$m$，使得$A$为钝角．因此答案是 D．

调整方案二　根据题意有 $$\dfrac 12ab\sin C=6,$$ 且 $$a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}=12,$$ 经整理可得 $$\begin{cases} a+b=6+\dfrac{1+\cos C}{\sin C},\\ ab=\dfrac{12}{\sin C},\end{cases}$$ 因此$a,b$是方程 $$x^2-\left(6+\dfrac{1+\cos C}{\sin C}\right)x+\dfrac{12}{\sin C}=0$$ 的两根，当$C=\dfrac{\pi}2$时，其判别式$\Delta=1$，因此可以适当调整$C$，使其为钝角．因此答案是 D．

调整方案三　用内切圆代换，设$a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，则 $$x+y+z=6,$$ 且由海伦公式，可得 $$xyz=6.$$

不妨设$x\leqslant y\leqslant z$，则 $$a=y+z=6-x$$ 为最大边，故$A$为最大角．由余弦定理，可得 $$\begin{split}\cos A=&\dfrac{(x+y)^2+(x+z)^2-(y+z)^2}{2(x+y)(x+z)}\\=&\dfrac{6}{(x+y)(x+z)}\cdot \left(x-\dfrac 1x\right).\end{split}$$ 考虑 $$(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(6-x)^2-\dfrac{24}{x},$$ 当$x=1$时，$(y-z)^2=1$，有解；因此当$x$比$1$略小时，该值亦大于$0$，也有解，因此可以适当调整$x$，使三角形为钝角三角形．因此答案是 D．