每日一题[1104]无巧不成书

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-10x-10y+45=0$，则 $\dfrac{2x^2-xy-y}{x}$ 的最小值是_______．

正确答案是$-2$．

分析与解　法一　根据题意，有 $$(x-5)^2+(y-5)^2=5,$$ 于是设 $$(x,y)=(5+\sqrt 5\cos\theta,5+\sqrt 5\sin\theta),$$ 则所求代数式 $$\begin{split}m=&\dfrac{2x^2-xy-y}{x}\\=&5-\sqrt 5\left(\sin\theta-2\cos\theta\right)-\dfrac{\sqrt 5+\sin\theta}{\sqrt 5+\cos\theta},\end{split}$$ 考虑函数 $$t=\dfrac{\sqrt 5+\sin\theta}{\sqrt 5+\cos\theta},$$ 有 $$\sin\theta-t\cos\theta=\sqrt 5(t-1),$$ 从而得到 $$\sqrt{1+t^2}\geqslant \sqrt 5(t-1),$$ 解得 $\dfrac 12\leqslant t\leqslant 2$，于是 $t$ 的最大值为 $2$，且当 $\sin\theta -2\cos\theta=\sqrt 5$ 时取得．因此 $m$ 的最小值为 $$5-\sqrt 5\cdot \sqrt 5-2=-2,$$ 当 $\sin\theta -2\cos\theta=\sqrt 5$ 时取得．
法二　根据题意，有 $$(x-5)^2+(y-5)^2=5,$$ 即点 $(x,y)$ 在一个圆上，记为圆 $M$．所求代数式 $$m=\dfrac{2x^2-xy-y}{x}=(2x-y)-\dfrac yx,$$ 考虑过原点的圆 $M$ 的切线 $MP$（斜率较大的切线），其中 $P$ 为切点，如图：容易计算得 $\tan\angle POM=\dfrac 13$，从而 $$k_{OP}=\tan\left(\angle POM+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{1+\dfrac 13}{1-\dfrac 13}=2,$$ 所以当 $(x,y)$ 取 $P$ 点坐标时，$2x-y$ 取到最小值，$\dfrac yx$ 取到最大值，从而所求代数式有最小值为 $$5-\sqrt 5\cdot \sqrt 5-2=-2,$$ 此时 $x=3,y=6$．