每日一题[1102]面积转化

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，上、下顶点分别为 $B_2,B_1$，左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，其中长轴长为 $4$，且圆 $O:x^2+y^2=\dfrac{12}7$ 为菱形 $A_1B_1A_2B_2$ 的内切圆．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）点 $N(n,0)$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，过点 $N$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$，记右焦点 $F_2$ 在 $l$ 上的射影为 $H$，若 $\triangle F_1HN$ 的面积不小于 $\dfrac{3}{16}n^2$，求 $n$ 的取值范围．

分析与解　（1）根据题意，有\[\begin{cases}2a=4,\\ \dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac1{b^2},\end{cases}\]于是所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$．

（2）根据题意，有\[\begin{split} S_{\triangle F_1HN}&=\dfrac{n+1}{n-1}S_{\triangle F_2HN}\\&=\dfrac{n+1}{n-1}\cdot\dfrac 14\sin 2\theta\cdot F_2N^2\\&=\dfrac 14\left(n^2-1\right)\cdot\sin 2\theta,\end{split}\]其中 $\theta=\angle HNF_2$．
设切线 $l:x=my+n$，则根据直线与椭圆联立的等效判别式，有\[4+3m^2=n^2,\]因此\[\tan\theta=\sqrt{\dfrac{3}{n^2-4}},\]进而\[\sin 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}=\dfrac{6\sqrt{\dfrac{n^2-4}3}}{n^2-1}.\]这样就有\[\begin{split}S_{\triangle F_1HN}=&\dfrac 14\left(n^2-1\right)\cdot \dfrac{6\sqrt{\dfrac{n^2-4}3}}{n^2-1}\\=&\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \sqrt{n^2-4}\geqslant \dfrac{3}{16}n^2,\end{split}\]可得\[\dfrac{16}3\leqslant n^2\leqslant 16,\]因此 $n$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{4\sqrt 3}3,4\right]$．