每日一题[1099]合理转化

若存在正实数 $m$，使得关于 $x$ 的方程 $x+2a(x+m-2{\rm e}x)\left[\ln(x+m)-\ln x\right]=0$ 有两个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（　　）
A．$(-\infty,0)$
B．$\left(0,\dfrac{1}{2{\rm e}}\right)$
C．$(-\infty,0)\cup\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$

正确答案是D．

分析与解　根据题意，有 $$\left(1+\dfrac mx-2{\rm e}\right)\cdot \ln\left(1+\dfrac mx\right)=-\dfrac{1}{2a},$$ 设 $t=1+\dfrac mx$，则 $t>1$，问题转化为函数 $$\varphi(t)=(t-2{\rm e})\cdot \ln t,$$ 与 $y=-\dfrac{1}{2a}$ 在区间 $t\in (1,+\infty)$ 上有两个公共点．函数 $\varphi(t)$ 的导数 $$\varphi'(t)=\ln t+1-\dfrac{2{\rm e}}t,$$ 因此 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline\varphi'(t)&-&0&+\\ \hline\varphi(t)&\searrow & {\rm lmin}=-{\rm e}&\nearrow\\ \hline \end{array}$$ 考虑到 $$\varphi(1)=0,\lim_{t\to+\infty}\varphi(t)=+\infty,$$ 于是 $$-{\rm e}<-\dfrac{1}{2a}<0,$$ 解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$．

下面给出一道练习：

已知 $f(x)=(x-2)^2\cdot {\rm e}^x+a{\rm e}^{-x}$，$g(x)=2a|x-2|$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有 $6$ 个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

正确答案是$\left(1,\dfrac{{\rm e}^2}{2{\rm e}-1}\right)$．

分析　方程即 $$\left(|x-2|\cdot{\rm e}^x\right)^2-2a\left(|x-2|\cdot{\rm e}^x\right)+a=0,$$ 令 $t=|x-2|\cdot {\rm e}^x$，利用导数研究其图象，如图．

可得 $t$ 的不同取值与 $x$ 的取值个数 $n$ 之间的关系为 $$\begin{array} {c|ccccc}\hline t&(-\infty,0)&0&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline n&0&1&3&2&1\\ \hline\end{array}$$ 因此题意即关于 $t$ 的方程 $$t^2-2at+a=0$$ 在 $(0,{\rm e})$ 上有 $2$ 个实数解，也即 $$\begin{cases} 0<a<{\rm e},\\ \left(t^2-2at+a\right)\Big|_{t=0}>0,\\\left(t^2-2at+a\right)\Big|_{t={\rm e}}>0,\\\Delta=4a^2-4a>0,\end{cases}$$ 解得 $$1<a<\dfrac{{\rm e}^2}{2{\rm e}-1}.$$
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{{\rm e}^2}{2{\rm e}-1}\right)$．