每日一题[1094]严格分界函数

若对任意 $x\in D$，总有 $f(x)<F(x)<g(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $D$ 上的一个严格分界函数．

（1）求证：$y={\rm e}^x$ 是 $y=1+x$ 和 $y=1+x+\dfrac 12x^2$ 在 $(-1,0)$ 上的一个严格分界函数；

（2）函数 $h(x)=2{\rm e}^x+\dfrac{1}{1+x}-2$，若存在最大整数 $M$，使得 $h(x)>\dfrac{M}{10}$ 在 $x\in (-1,0)$ 恒成立，求 $M$ 的值．

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分析与解　（1）根据题意，只需要证明

$$\forall x\in (-1,0),1+x<{\rm e}^x<1+x+\dfrac 12x^2,$$ 也即 $$\forall x\in (-1,0),(1+x)\cdot {\rm e}^{-x}<1<\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)\cdot {\rm e}^{-x},$$ 注意到 $$\begin{split} \left((1+x)\cdot {\rm e}^{-x}\right)'&=-x\cdot{\rm e}^{-x},\\\left(\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)\cdot {\rm e}^{-x}\right)'&=-\dfrac 12x^2\cdot {\rm e}^{-x},\end{split}$$ 因此左侧函数单调递增，右侧函数单调递减，结合它们在 $x=0$ 处的函数值均为 $1$，命题得证．

 （2）函数 $h(x)$ 的导函数

$$h'(x)=2{\rm e}^x-\dfrac{1}{(1+x)^2},$$ 于是 $h'(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，因此 $h'(x)$ 在 $(-1,0)$ 上有唯一零点 $x_0$，因此 $h(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值，亦为最小值 $h(x_0)$，进而 $$M<10h(x_0).$$

根据第 $(1)$ 小题的结论，有

$$\forall x\in (-1,0),2(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-2<h(x)<2\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)+\dfrac{1}{1+x}-2,$$ 也即 $$\forall x\in (-1,0),2(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-2<h(x)<2x+x^2+\dfrac{1}{1+x},$$ 于是 $$\min_{-1<x<0}\left\{2(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-2\right\}<h(x_0)<\min_{-1<x<0}\left\{2x+x^2+\dfrac{1}{1+x}\right\}.$$ 一方面，有 $$\min_{-1<x<0}\left\{2(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-2\right\}= 4\sqrt 2-2>0.82.$$ 另一方面，有 $$\min_{-1<x<0}\left\{2x+x^2+\dfrac{1}{1+x}\right\}\leqslant \left(2x+x^2+\dfrac{1}{1+x}\right)\Bigg|_{x=-\frac 15}=0.89,$$ 于是 整数 $M$ 的值为 $8$．

注　事实上，函数 $y=2x+x^2+\dfrac{1}{x+1}$ 的导函数

$$y'=\dfrac{2x^3+6x^2+6x+1}{(x+1)^2}=\dfrac{2(x+1)^3-1}{(x+1)^2},$$ 于是其在区间 $(-1,0)$ 上的极小值点为 $x=-1+2^{-\frac 13}$，对应的极小值，亦为最小值 $$\min_{-1<x<0}\left\{2x+x^2+\dfrac{1}{1+x}\right\}=-1+3\cdot 2^{-\frac 23}\approx 0.8898\cdots.$$ 也可以通过均值不等式 $$\begin{split} y=&2x+x^2+\dfrac{1}{x+1}\\=&(x+1)^2+\dfrac{1}{2(x+1)}+\dfrac{1}{2(x+1)}-1\\\geqslant &3\sqrt[3]{\dfrac 14}-1\approx 0.8898.\end{split}$$ 得到函数的最小值．