已知不等式 $\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-a}\geqslant {\rm e}$ 对任意正整数 $n$ 都成立，试求实数 $a$ 的取值范围．
分析与解 根据题意，有\[\forall n\in\mathbb N^*,\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-\dfrac{1}{n-a}\geqslant 0.\]令 $x=\dfrac 1n$，考虑当 $x\in [0,1]$ 时函数\[\varphi(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1-ax},\]有 $\varphi(0)=0$，而其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{x}{(1+x)(ax-1)^2}\cdot\left(a^2x-2a-1\right),\]得到讨论分界点 $a=-\dfrac 12$．
情形一 $a\leqslant -\dfrac 12$．此时当 $x\in[0,1]$ 时，有\[\varphi'(x)\geqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 单调递增，进而\[\varphi(x)\geqslant \varphi(0)=0,\]符合题意．
情形二 $a>-\dfrac 12$．此时当 $x\in\left(0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right)$ 时，则有\[\varphi'(x)<0,\]于是 $\varphi(x)$ 单调递减，进而\[\varphi(x)<\varphi(0)=0,\]对应取 $n=\left[\dfrac{a^2}{2a+1}\right]+1$，则 $\dfrac 1n\in \left(0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right)$，有\[\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-\dfrac{1}{n-a}<0,\]不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$．