已知不等式 (1+1n)n−a⩾ 对任意正整数 n 都成立,试求实数 a 的取值范围.
分析与解 根据题意,有\forall n\in\mathbb N^*,\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-\dfrac{1}{n-a}\geqslant 0.令 x=\dfrac 1n,考虑当 x\in [0,1] 时函数\varphi(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1-ax},有 \varphi(0)=0,而其导函数\varphi'(x)=\dfrac{x}{(1+x)(ax-1)^2}\cdot\left(a^2x-2a-1\right),得到讨论分界点 a=-\dfrac 12.
情形一 a\leqslant -\dfrac 12.此时当 x\in[0,1] 时,有\varphi'(x)\geqslant 0,于是 \varphi(x) 单调递增,进而\varphi(x)\geqslant \varphi(0)=0,符合题意.
情形二 a>-\dfrac 12.此时当 x\in\left(0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right) 时,则有\varphi'(x)<0,于是 \varphi(x) 单调递减,进而\varphi(x)<\varphi(0)=0,对应取 n=\left[\dfrac{a^2}{2a+1}\right]+1,则 \dfrac 1n\in \left(0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right),有\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-\dfrac{1}{n-a}<0,不符合题意.
综上所述,实数 a 的取值范围是 \left(-\infty,-\dfrac 12\right].