每日一题[110] 消元

已知$x,y\in \mathcal R$，$\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且满足

$$\begin{cases}\dfrac{\sin\theta}{x}=\dfrac{\cos\theta}{y}\\\dfrac{\cos^2\theta}{x^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{y^2}=\dfrac{10}{3\left(x^2+y^2\right)}\end{cases}$$ 求$\dfrac{x}{y}$的值．

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正确答案是$\sqrt 3$．

已知条件中有三个变量，但只有两个方程，欲求的式子中不含$\theta$，因此代数变形的策略应是想办法消去$\theta$．

令$\dfrac{x}{y}=t$，则

$$\sin\theta=t\cos\theta,$$ 因此结合 $$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,$$ 得 $$\sin^2\theta=\dfrac{t^2}{t^2+1},\cos^2\theta=\dfrac{1}{t^2+1},$$ 代入第二个式子中有 $$\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{x^2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{y^2}=\dfrac{10}{3},$$ 进而有 $$\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{t^2+1}{t^2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\left(t^2+1\right)=\dfrac{10}{3},$$ 化简得 $$3t^4-10t^2+3=0,$$ 解得 $$t=\pm\dfrac{\sqrt 3}{3}\lor\pm\sqrt 3.$$ 由于$t=\tan\theta\in\left(1,+\infty\right)$，因此所求$\dfrac{x}{y}$的值为$\sqrt 3$．

下面给出一道练习题．

已知实数$x_1,x_2,y_1,y_2$满足

$$\begin{cases}x_1^2+y_1^2=1,\\x_2^2+y_2^2=1,\\x_1x_2+y_1y_2=0,\end{cases}$$ 求证：$x_1^2+x_2^2$为定值．