每日一题[1090]处理指数的和差化积

已知函数 $f(x)=-\dfrac a2x^2+(a-1)x+\ln x$．

（1）若 $a=-\dfrac 12$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若 $a>1$，求证：$(2a-1)f(x)<3{\rm e}^{a-3}$．

 分析与解　（1）函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(-ax-1)(x-1)}{x},$$ 当 $a=-\dfrac 12$ 时，有 $$f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{2x}.$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccccc}\hline x&(0,1)&1&(1,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow&{\rm lmax} &\searrow &{\rm lmin}&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$ 和 $(2,+\infty)$，单调递减区间是 $(1,2)$．

（2）当 $a>1$ 时，有 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&(0,1)&1&(1,+\infty)\\\hline f'(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&\nearrow&{\rm lmax} &\searrow \\ \hline \end{array}$$ 于是 $f(x)$ 有极大值，亦为最大值 $$f(1)=\dfrac 12a-1,$$ 欲证命题即 $$\forall a>1,(2a-1)\left(\dfrac 12a-1\right)<3{\rm e}^{a-3},$$ 也即 $$\forall a>1,{\rm e}^{-a}\cdot \left(2a^2-5a+2\right)<6{\rm e}^{-3}.$$ 设不等式左侧函数为 $\varphi(a)$，则其导函数 $$\varphi'(a)={\rm e}^{-a}\cdot (7-2a)(a-1),$$ 于是函数 $\varphi(a)$ 在 $\left(1,\dfrac 72\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 72,+\infty\right)$ 上单调递减，在 $a=\dfrac 72$ 处取得极大值，亦为最大值 $$\varphi\left(\dfrac 72\right)=9{\rm e}^{-\frac 72}<6{\rm e}^{-3},$$ 其中用到了 ${\rm e}>\dfrac 94$．因此原命题得证．