每日一题[1087]见招拆招

已知函数 f(x)=ln(x+2a)axa>0

1)求 f(x) 的单调区间;

2)记 f(x) 的最大值为 M(a),若 a2>a1>0 M(a1)=M(a2),求证:a1a2<14

3)若 a>2,记集合 {xf(x)=0} 中的最大元素为 x0,设函数 g(x)=|f(x)|+x,求证:x0 g(x) 的极小值点.


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 分析与解1函数 f(x) 的定义域为 (2a,+),其导函数f(x)=ax+12a2x+2a,于是函数 f(x) 的单调递增区间是 (2a,2a+1a),单调递减区间是 (2a+1a,+)

(2)根据第 (1) 小题的结果,我们有 f(x) 的最大值M(a)=f(2a+1a)=2a2lna1.问题可以转化为

函数 h(x)=2e2xx1,有 h(x1)=h(x2),且 x1<x2,则 x1+x2<2ln2

下面证明转化后的问题:

事实上,有h(x)=4e2x1,h(x)=8e2x,h(x)=16e2x,于是 x1<ln2<x2 x>ln2,h(x)h(2ln2x)>0,结合h(ln2)=0,可得x>ln2,h(x)>h(2ln2x),进而可得h(x1)=h(x2)>h(2ln2x2),因此x1<2ln2x2,命题得证.

(3)由于 f(0)=ln(2a)>1,于是 x0>0,且g(x)={ln(x+2a)ax+x,x<x0,ln(x+2a)+ax+x,x

情形一  0<x<x_0 时,有g'(x)=\dfrac{1}{x+2a}-a+1<\dfrac 1{2a}-a+1<0,因此函数 g(x) (0,x_0) 上单调递减.

情形二  x>x_0 时,有g'(x)=-\dfrac{1}{x+2a}+a+1>-\dfrac{1}{2a}+a+1>0,因此函数 g(x) (x_0,+\infty) 上单调递增.

综上所述,x_0 是函数 g(x) 的极小值点.

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