已知函数 f(x)=ln(x+2a)−ax,a>0.
(1)求 f(x) 的单调区间;
(2)记 f(x) 的最大值为 M(a),若 a2>a1>0 且 M(a1)=M(a2),求证:a1a2<14;
(3)若 a>2,记集合 {x∣f(x)=0} 中的最大元素为 x0,设函数 g(x)=|f(x)|+x,求证:x0 是 g(x) 的极小值点.
分析与解(1)函数 f(x) 的定义域为 (−2a,+∞),其导函数f′(x)=−ax+1−2a2x+2a,于是函数 f(x) 的单调递增区间是 (−2a,−2a+1a),单调递减区间是 (−2a+1a,+∞).
(2)根据第 (1) 小题的结果,我们有 f(x) 的最大值M(a)=f(−2a+1a)=2a2−lna−1.问题可以转化为
函数 h(x)=2e2x−x−1,有 h(x1)=h(x2),且 x1<x2,则 x1+x2<−2ln2.
下面证明转化后的问题:
事实上,有h′(x)=4e2x−1,h″(x)=8e2x,h‴(x)=16e2x,于是 x1<−ln2<x2 且∀x>−ln2,h″(x)−h″(−2ln2−x)>0,结合h′(−ln2)=0,可得∀x>−ln2,h(x)>h(−2ln2−x),进而可得h(x1)=h(x2)>h(−2ln2−x2),因此x1<−2ln2−x2,命题得证.
(3)由于 f(0)=ln(2a)>1,于是 x0>0,且g(x)={ln(x+2a)−ax+x,x<x0,−ln(x+2a)+ax+x,x⩾
情形一 当 0<x<x_0 时,有g'(x)=\dfrac{1}{x+2a}-a+1<\dfrac 1{2a}-a+1<0,因此函数 g(x) 在 (0,x_0) 上单调递减.
情形二 当 x>x_0 时,有g'(x)=-\dfrac{1}{x+2a}+a+1>-\dfrac{1}{2a}+a+1>0,因此函数 g(x) 在 (x_0,+\infty) 上单调递增.
综上所述,x_0 是函数 g(x) 的极小值点.