每日一题[1086]恒成立

若对任意实数 $x,y\in [0,+\infty)$，$4ax\leqslant {\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}+2$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是（　　）

A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac 12$
C．$1$
D．$2$

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正确答案是B．

分析与解　取 $y=0$，则有

$$\forall x>0,2a\leqslant \dfrac{{\rm e}^{x-2}+1}{x}.$$ 记右侧函数为 $f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-2}(x-1)-1}{x^2},$$ 考虑到 $$\left({\rm e}^{x-2}(x-1)\right)'={\rm e}^{x-2}\cdot x>0,$$ 于是 $f'(x)$ 有唯一零点 $x=2$，于是 $f(x)$ 有极小值，亦为最小值 $$f(2)=1.$$ 因此 $a\leqslant \dfrac 12$．接下来证明 $a=\dfrac 12$ 符合题意，也即 $$\forall x,y\geqslant 0,{\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}-2x+2\geqslant 0.$$

设左侧函数为 $g(x)$，则

$$\begin{split} g(x)&\geqslant 2\left({\rm e}^{x+y-2}\cdot {\rm e}^{x-y-2}\right)^{\frac 12}-2x+2\\&=2{\rm e}^{x-2}-2x+2\\&\geqslant 2\left[(x-2)+1\right]-2x+2\\&=0,\end{split}$$ 因此不等式成立．

综上所述，实数 $a$ 的最大值为 $\dfrac 12$．