每日一题[1080]轨迹长度

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(-1,0)$，$B(1,0)$．点 $C$ 是单位圆上一点，且其纵坐标大于 $0$，延长 $AC$ 到 $P$，使 $CP=CB$．当点 $C$ 从 $B$ 点运动到 $A$ 点时，点 $P$ 运动的轨迹长度为________．

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正确答案是$\sqrt 2\pi$．

分析与解　法一　根据题意，点 $P$ 是点 $B$ 关于 $\angle BCP$ 的平分线 $l$ 对称的点，而 $l$ 是 $\angle ACB$ 的外角平分线．注意到 $\angle ACB$ 的角平分线恒过点 $E(0,-1)$（弧 $AE$ 与弧 $BE$ 相等），而内外角平分线互相垂直，因此 $l$ 与 $CE$ 垂直，进而直线 $l$ 恒过点 $D(0,1)$，如图．

这就意味着 $DP=DB$，因此 $P$ 点在以 $D$ 为圆心，$DB$ 为半径的圆上．考虑到 $C$ 点从 $B$ 点运动到 $A$ 点，因此 $P$ 点从 $B(1,0)$ 点运动到 $Q(-1,2)$ 点，其轨迹长度为

$$\dfrac 12\cdot 2\pi \cdot \sqrt 2=\sqrt 2\pi.$$

法二　设 $\angle CAB=\theta$，其中 $\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则 $CA=2\cos\theta$，$CB=2\sin\theta$，于是

$$AP=AC+CP=2\sin\theta+2\cos\theta,$$ 于是 $P$ 点的坐标为 $$\left(\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\cos\theta-1,\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\sin\theta\right),$$ 即 $$\left(\sqrt 2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right),1-\sqrt 2\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right)\right),$$ 因此点 $P$ 的轨迹是以 $(0,1)$ 为圆心，$\sqrt 2$ 为半径的半圆，其长度为 $\sqrt 2\pi$．