每日一题[1070]退而求其次

已知函数 $f(x)=\left|x+\dfrac 1x\right|+\left|m-x+\dfrac{1}{m-x}\right|-a$ 有 $6$ 个零点，且所有零点之和为 $3$，则 $a$ 的取值范围是_______．

正确答案是$(5,+\infty)$．

分析与解　根据题意，有 $$f(x)=f(m-x),$$ 于是函数 $f(x)$ 关于 $x=\dfrac 12m$ 对称．结合所有的零点的平均数为 $\dfrac 12$，可得 $m=1$．此时问题转化为函数 $$g(x)=\left|x+\dfrac 1x\right|+\left|1-x+\dfrac{1}{1-x}\right|$$ 在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上与直线 $y=a$ 有 $3$ 个公共点．此时 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac 1x+\dfrac{1}{1-x}+1,&\dfrac 12<x<1,\\2x+\dfrac 1x+\dfrac{1}{x-1}-1,&x>1.\end{cases}$$

情形一　当 $\dfrac 12<x<1$ 时，函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=-\dfrac 1{x^2}+\dfrac{1}{(1-x)^2}>0,$$ 于是函数 $g(x)$ 单调递增，且取值范围是 $(5,+\infty)$．（也可以不求导，由 $$g(x)=1+\dfrac 1{x(1-x)}$$ 知 $g(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递增．）

情形二　当 $x>1$ 时，函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=2-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{(x-1)^2},$$ 考虑到 $g'(x)$ 是 $(1,+\infty)$ 上的单调递增函数，且 $$\lim_{x\to 1^+}g'(x)=-\infty,\lim_{x\to +\infty}g'(x)=2,$$ 于是 $g'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有唯一零点，记为 $x_0$．进而函数 $g(x)$ 在 $(1,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=x_0$ 处取得极小值 $m$，如图．

接下来问题的关键是判断 $m$ 与 $5$ 的大小关系．注意到 $$m\leqslant f\left(\dfrac 32\right)=\dfrac 32+\dfrac 23+\dfrac 12+2=\dfrac{14}{3}<5,$$ 于是所求的取值范围是 $(5,+\infty)$．

注　事实上，极小值点 $$x_0=\dfrac{1+\sqrt{3+2\sqrt 3}}2\approx 1.7712,$$ 对应的极小值 $$m=\sqrt{9+6\sqrt 3}\approx 4.4037.$$