每日一题[1058]二次复二次

已知函数 $f(x)=ax^2+2x+1$，若对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(f(x))\geqslant 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是________．

---

正确答案是$\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)$．

分析与解    显然 $a>0$，否则当 $x\to -\infty$ 时，有 $f(f(x))\to -\infty$，不符合题意．当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac{a-1}{a},+\infty\right)$．

根据题意，对函数 $f(x)$ 值域中的任意一个数 $t$，都有 $f(t)\geqslant 0$，因此或者 $f(x)$ 没有零点，或者 $f(x)$ 的较大零点不超过 $\dfrac{a-1}{a}$，也即

$$4-4a<0$$ 或 $$\begin{cases} 4-4a>0,\\ \dfrac{-2+\sqrt{4-4a}}{2a}\leqslant \dfrac{a-1}a,\end{cases}$$ 解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)$．

注    也可以根据对称轴 $x=-\dfrac 1a<\dfrac{a-1}{a}$ 知 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{a-1}a,+\infty\right)$ 上单调递增，于是 $f\left(\dfrac{a-1}a\right)\geqslant 0$ 即可，解得 $a\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}2$．