已知函数 \(f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)\) 其中 \(a,\omega>0\)，\(|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2\)，直线 \(y=a\) 与 \(f(x)\) 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 \(2\) 和 \(4\)，现有如下命题：
① 该函数在 \([2,4]\) 上的值域是 \(\left[a,\sqrt 2a\right]\)；
② 在 \([2,4]\) 上，函数在 \(x=3\) 处取得最大值；
③ 该函数的最小正周期可以是 \(\dfrac 83\)；
④ 函数 \(f(x)\) 的图象可能过原点．
上述命题中，正确的命题是__________．
正确答案是①②．
分析与解 根据题意，有\[\sin(2\omega\pi+\varphi)=\sin(4\omega\pi+\varphi)=\dfrac{\sqrt 2}2,\]因此\[\begin{cases}2\omega\pi +\varphi=2k\pi+\dfrac{\pi}4,\\4\omega\pi+\varphi=2k\pi+\dfrac{3\pi}4,\end{cases}\]或\[\begin{cases}2\omega\pi +\varphi=2k\pi+\dfrac{3\pi}4,\\4\omega\pi+\varphi=2k\pi+\dfrac{9\pi}4,\end{cases}\]其中 \(k\in\mathbb Z\)．作差可得 \(\omega=\dfrac 14\) 或 \(\omega=\dfrac 34\)，对应的最小正周期分别为 \(8\) 或 \(\dfrac 83\)，此时对应的 \[\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 14,-\dfrac{\pi}4+2k\pi\right)\] 或 \[\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 34,-\dfrac{3\pi}4+2k\pi\right).\]其中 \(k\in\mathbb Z\)．由于题中要求 \(\left|\varphi\right|\leqslant \dfrac{\pi}2\)，于是只能是 \(\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 14,-\dfrac{\pi}4\right)\)．
据此可以判断命题①② 正确，命题③④错误．