每日一题[1054]正弦型函数

已知函数 $f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)$ 其中 $a,\omega>0$，$|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2$，直线 $y=a$ 与 $f(x)$ 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 $2$ 和 $4$，现有如下命题：

① 该函数在 $[2,4]$ 上的值域是 $\left[a,\sqrt 2a\right]$；
② 在 $[2,4]$ 上，函数在 $x=3$ 处取得最大值；
③ 该函数的最小正周期可以是 $\dfrac 83$；
④ 函数 $f(x)$ 的图象可能过原点．
上述命题中，正确的命题是__________．

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正确答案是①②．

分析与解     根据题意，有

$$\sin(2\omega\pi+\varphi)=\sin(4\omega\pi+\varphi)=\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 因此 $$\begin{cases}2\omega\pi +\varphi=2k\pi+\dfrac{\pi}4,\\4\omega\pi+\varphi=2k\pi+\dfrac{3\pi}4,\end{cases}$$ 或 $$\begin{cases}2\omega\pi +\varphi=2k\pi+\dfrac{3\pi}4,\\4\omega\pi+\varphi=2k\pi+\dfrac{9\pi}4,\end{cases}$$ 其中 $k\in\mathbb Z$．作差可得 $\omega=\dfrac 14$ 或 $\omega=\dfrac 34$，对应的最小正周期分别为 $8$ 或 $\dfrac 83$，此时对应的 $$\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 14,-\dfrac{\pi}4+2k\pi\right)$$ 或 $$\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 34,-\dfrac{3\pi}4+2k\pi\right).$$ 其中 $k\in\mathbb Z$．由于题中要求 $\left|\varphi\right|\leqslant \dfrac{\pi}2$，于是只能是 $\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 14,-\dfrac{\pi}4\right)$．
据此可以判断命题①② 正确，命题③④错误．