每日一题[1045]寻找合适的角度

如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥实心装饰块，容器内盛有 $a$ 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$．如果将容器倒置，水面也恰好过点 $P$，如图2．有下列四个命题：

① 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
② 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 $P$；
③ 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 $P$；
④ 若往容器内再注入 $a$ 升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是_______．（写出所有真命题的代号）

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正确答案是②④．

分析与解　① 设正四棱锥的底面边长为 $m$，高为 $h$，正四棱柱的高为 $H$，则

$$m^2\cdot h-\dfrac 13m^2h=m^2\cdot (H-h)=a,$$ 于是 $h=\dfrac 35H$，命题错误．

② 根据图形的对称性，命题显然正确．

③ 如图，考虑如果水面是如图的三棱柱，则有

$$\dfrac 12\cdot AB\cdot m\cdot H=m^2(H-h)=\dfrac 25Hm^2,$$ 解得 $AB=\dfrac 45m$．从而有 $$MN=\dfrac 35\cdot\dfrac 45m=\dfrac{12}{25}m<\dfrac m2,$$ 所以此时 $P$ 点在水面上方．
④ 结合两图，可知命题正确．