每日一题[1091]分析端点

设函数 $f(x)=x^2+ax-\ln x$．

（1）若 $a=1$，试求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）令 $g(x)=\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}$，若函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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分析与解　（1）当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(x+1)(2x-1)}{x},$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac 12\right)$．

（2）函数 $g(x)$ 的导函数

$$\begin{split}g'(x)=&{\rm e}^{-x}\left(f'(x)-f(x)\right)\\=&{\rm e}^{-x}\left(2x+a-\dfrac 1x-x^2-ax+\ln x\right),\end{split}$$ 因此根据题意有 $$\forall x\in (0,1],x^2+\dfrac 1x-2x-\ln x+a(x-1)\geqslant 0.$$ 记不等式左侧函数为 $h(x)$，则注意到 $h(1)=0$，而其导函数 $$h'(x)=2x-\dfrac 1{x^2}-2-\dfrac 1x+a,$$ 有 $h'(1)=a-2$，因此讨论分界点为 $a=2$．

情形一　$a\leqslant 2$．此时

$$h'(x)\leqslant 2x-\dfrac 1{x^2}-\dfrac 1x=\dfrac{(x-1)\left(2x^2+2x+1\right)}{x^2}\leqslant 0,$$ 于是在 $(0,1]$ 上，$h(x)$ 单调递减，于是 $$h(x)>h(1)=0,$$ 符合题意．

情形二　$a>2$．此时

$$h'(x)=\left(-\dfrac{x^2+2x+1}{x^2}\right)\cdot (1-x)+a-2,$$ 而当 $\dfrac 12\leqslant x\leqslant 1$ 时，有 $$-\dfrac{x^2+2x+1}{x^2}\geqslant -9,$$ 于是当 $\dfrac 12\leqslant x\leqslant 1$ 时，有 $$h'(x)\geqslant -9(1-x)+a-2,$$ 因此在区间 $\left(1-\dfrac{a-2}{9},1\right]$ 上有 $h'(x)>0$，因此函数 $h(x)$ 在 $\left(1-\dfrac{a-2}{9},1\right]$ 上单调递增，于是该区间上 $$h(x)<h(1)=0,$$ 不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．