每日一题[1044]又见极值点偏移

已知函数 $f(x)=\ln (x-1)-a(x-1)^2$，其中 $a\in\mathbb R$．

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $a=\dfrac 12$ 时，若 $f(x_1)=f(x_2)$ 且 $x_1\ne x_2$，求证：$x_1+x_2>4$．

分析与解　（1）函数 $f(x)$ 的导函数为 $$f'(x)=\dfrac{-2a(x-1)^2+1}{x-1},$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(1,1+\dfrac{1}{\sqrt{2a}}\right)$ 上单调递增，在 $\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2a}},+\infty\right)$ 上单调递减．

（2）当 $a=\dfrac 12$ 时，有 $$\ln(x_1-1)-\dfrac 12(x_1-1)^2=\ln(x_2-1)-\dfrac 12(x_2-1)^2,$$ 整理后应用对数平均不等式，得 $$\dfrac{2}{x_1+x_2-2}=\dfrac{(x_1-1)-(x_2-1)}{\ln(x_1-1)-\ln(x_2-1)}<\dfrac{x_1+x_2-2}2,$$ 因此 $$(x_1+x_2-2)^2>4,$$ 即 $$x_1+x_2>4,$$ 因此原命题得证．

备注　第二问也可以用对称化构造的方法，证明 $$\forall x\in(2,3),f(x)-f(4-x)>0.$$ 而左边的函数求导后可以变形为 $\dfrac{2(x-2)^2}{(x-1)(3-x)}$．