每日一题[1031]正切值求和

求证：$\tan ^21^\circ+\tan ^22^\circ+\tan ^23^\circ+\cdots+\tan ^288^\circ+\tan ^289^\circ=\dfrac{15931}{3}$．

分析与解　由棣莫佛公式，有 $$\cos nx+{\rm i}\sin nx=\left(\cos x+{\rm i}\sin x\right)^n,$$ 于是 $$\begin{split}\cos nx &={\rm C}_n^0\cos^nx-{\rm C}_n^2\cos^{n-2}x\sin^2x+{\rm C}_n^4\cos^{n-4}x\sin^4x-\cdots,\\\sin nx &={\rm C}_n^1\cos^{n-1}x\sin x-{\rm C}_n^3\cos^{n-3}x\sin^3x+{\rm C}_n^5\cos^{n-5}x\sin^5x-\cdots,\end{split}$$ 也即 $$\begin{split}\cos nx &=\cos^nx\cdot \left({\rm C}_n^0-{\rm C}_n^2\tan^2x+{\rm C}_n^4\tan^4x-\cdots\right),\\\sin nx &=\cos^{n-1}x\cdot \sin x\cdot \left({\rm C}_n^1-{\rm C}_n^3\tan^2x+{\rm C}_n^5\tan^4x-\cdots\right),\end{split}$$ 在第二个式子中，令$n=180$，$x$分别为$1^\circ,2^\circ,3^\circ,\cdots,89^\circ$，可得$\tan^21^\circ,\tan^22^\circ,\tan^23^\circ,\cdots,\tan^289^\circ$是关于$t$的方程 $${\rm C}_{180}^1-{\rm C}_{180}^3t+{\rm C}_{180}^5t^2-\cdots+{\rm C}_{180}^{179}t^{89}=0$$ 的$89$个实根，于是根据韦达定理，有 $$\tan ^21^\circ+\tan ^22^\circ+\tan ^23^\circ+\cdots+\tan ^288^\circ+\tan ^289^\circ=-\dfrac{-{\rm C}_{180}^{177}}{{\rm C}_{180}^{179}}=\dfrac{15931}{3}.$$

注　这是尬题Top５中的问题的拓展．原问题如下：

证明：$\tan ^21^\circ+\tan ^23^\circ+\tan ^25^\circ+\cdots+\tan ^287^\circ+\tan ^289^\circ=4005$．