每日一题[1021]和谐三角形

若$\triangle ABC$沿三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的$\triangle ABC$为和谐三角形．设$\triangle ABC$的三个内角分别为$A,B,C$，则下列条件中能够确定为和谐三角形的有________．
① $A:B:C=7:20:25$；
② $\sin A:\sin B:\sin C=7:20:25$；
③ $\cos A:\cos B:\cos C=7:20:25$；
④ $\tan A:\tan B:\tan C=7:20:25$．

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分析与解　根据题意，和谐三角形即锐角三角形．

对于①，最大角$C=\dfrac{25}{52}\pi<\dfrac{\pi}2$，$\triangle ABC$为锐角三角形．

对于②，由于$25^2-20^2=45\times 5>7^2$，于是根据余弦定理$C$为钝角，$\triangle ABC$为钝角三角形．

对于③④，于是比例均为正数，因此$A,B,C$均为锐角，$\triangle ABC$为锐角三角形．

综上所述，能够确定为和谐三角形的有①③④．

注　和谐三角形即锐角三角形的证明如下：
先证明和谐三角形一定是锐角三角形：即如果一个四面体的三组对棱分别相等，那么它的每个面都是锐角三角形．
事实上此时它的四个面都是全等的三角形，分别记它的三个内角为 $\alpha,\beta,\theta$，对四面体的一个顶点应用三射线定理得

$$\cos\theta=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\varphi,$$ 于是我们有 $$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)<\cos\theta<\cos(\alpha-\beta),$$ 从而有 $|\alpha-\beta|<\theta<\alpha+\beta$，于是有 $\alpha<\dfrac {\pi}2,\beta<\dfrac {\pi}2,\theta<\dfrac {\pi}2$．
再证明锐角三角形一定是和谐三角形，只需要证明可以构造出一个对棱相等，且分别为锐角三角形三边 $a,b,c$ 的三棱锥．下面给出构造过程：
记锐角三角形 $\triangle ABC$ 的三边长为 $a,b,c$，构造一个平行四边形 $ABDC$，则该四边形的另一条对角线 $AD$ 的长大于 $b$，如图，沿着边 $BC$ 将 $\triangle BDC$ 折叠，二面角为 $0$ 度时，$AD<a$，于是存在某个时候 $AD$ 的长等于 $a$，此时得到的三棱锥满足条件．