每日一题[1021]和谐三角形

若$\triangle ABC$沿三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的$\triangle ABC$为和谐三角形.设$\triangle ABC$的三个内角分别为$A,B,C$,则下列条件中能够确定为和谐三角形的有________.
① $A:B:C=7:20:25$;
② $\sin A:\sin B:\sin C=7:20:25$;
③ $\cos A:\cos B:\cos C=7:20:25$;
④ $\tan A:\tan B:\tan C=7:20:25$.


cover分析与解 根据题意,和谐三角形即锐角三角形.

对于①,最大角$C=\dfrac{25}{52}\pi<\dfrac{\pi}2$,$\triangle ABC$为锐角三角形.

对于②,由于$25^2-20^2=45\times 5>7^2$,于是根据余弦定理$C$为钝角,$\triangle ABC$为钝角三角形.

对于③④,于是比例均为正数,因此$A,B,C$均为锐角,$\triangle ABC$为锐角三角形.

综上所述,能够确定为和谐三角形的有①③④.

 和谐三角形即锐角三角形的证明如下:
先证明和谐三角形一定是锐角三角形:即如果一个四面体的三组对棱分别相等,那么它的每个面都是锐角三角形.
事实上此时它的四个面都是全等的三角形,分别记它的三个内角为 $\alpha,\beta,\theta$,对四面体的一个顶点应用三射线定理得\[\cos\theta=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\varphi,\]于是我们有$$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)<\cos\theta<\cos(\alpha-\beta),$$从而有 $|\alpha-\beta|<\theta<\alpha+\beta$,于是有 $\alpha<\dfrac {\pi}2,\beta<\dfrac {\pi}2,\theta<\dfrac {\pi}2$.
再证明锐角三角形一定是和谐三角形,只需要证明可以构造出一个对棱相等,且分别为锐角三角形三边 $a,b,c$ 的三棱锥.下面给出构造过程:
记锐角三角形 $\triangle ABC$ 的三边长为 $a,b,c$,构造一个平行四边形 $ABDC$,则该四边形的另一条对角线 $AD$ 的长大于 $b$,如图,沿着边 $BC$ 将 $\triangle BDC$ 折叠,二面角为 $0$ 度时,$AD<a$,于是存在某个时候 $AD$ 的长等于 $a$,此时得到的三棱锥满足条件.

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每日一题[1021]和谐三角形》有 3 条评论

  1. cbc123e说:

    [注]后的证明中“……四面体的三组对角线……”应该是 “……三组对棱”吧!?

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