每日一题[1018]拨云见日

若集合$A,B,C$满足$A\cap B=\varnothing$，且$A\cup B=C$，则称$(A,B)$为$C$的一个分割．
(1) 已知集合$A_1=\left\{x\mid \tan\left(\dfrac{\pi x}2+\dfrac{\pi}4\right)=-1,x\in\mathbb R\right\}$，集合$B_1=\{x\mid \cos(\pi x)=1,x\in\mathbb R\}$，集合$C_1=\{x\mid \sin(\pi x)=0,x\in\mathbb R\}$，问$(A_1,B_1)$是否为$C_1$的一个分割？请说明理由．
(2) 设函数$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-a}{x-b}}$($a>b$)及

$$g(x)=\dfrac{\sin(\lambda+\mu)x}{\sin(\lambda-\mu)x}+\dfrac{\cos(\lambda+\mu)x}{\cos(\lambda-\mu)x},\lambda,\mu\in\mathbb R,$$ 记$A_2=\{x \mid y =f(x)\}$，$B_2=\{ y \mid y=g(x)\}$，已知当$\lambda=5$，$\mu=4$时，$(A_2,B_2)$为$\mathbb R$的一个分割．若平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的四个顶点都在函数$h(x)={\log_2}\dfrac{x+1}{x-1}$的图象上，且$P_1$点的横坐标为$a-7$，$P_2$点的横坐标为$-\dfrac 23b$，试求平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的面积．

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分析与解　(1) 根据题意，有$A_1=\{ x\mid x=2k+1,k\in\mathbb Z\}$，$B_1=\{x\mid x=2k,k\in\mathbb Z\}$，$C_1=\mathbb Z$．因此$(A_1,B_1)$是$C_1$的一个分割．

(2) 根据题意，$A_2=(-\infty,b)\cup [a,+\infty)$，于是$B_2=[b,a)$．而

$$g(x)=\dfrac{\sin 9x}{\sin x}+\dfrac{\cos 9x}{\cos x},$$ 也即 $$g(x)=\dfrac{2\sin 10x}{\sin 2x},\sin 2x\ne 0.$$ 考虑到 $$\sin 5\theta=5\cos^4\theta\sin\theta-10\cos^2\theta\sin^3\theta+\sin^5\theta,$$ 于是令$t=\cos^22x$，$t\in[0,1)$，$m=g(x)$，则 $$m=10t^2-20t(1-t)+2(1-t)^2=32t^2-24t+2,$$ 于是$m$的取值范围是$\left[-\dfrac 52,10\right)$．进而可得$P_1(3,1)$，$P_2\left(\dfrac 53,2\right)$，因为$O$是函数$h(x)$的对称中心，所以平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的面积 $$S_{P_1P_2P_3P_4}=4S_{\triangle OP_1P_2}=4\cdot \dfrac 12\left|3\cdot 2-\dfrac 53\cdot 1\right|=\dfrac{26}3.$$

注　本题来自尬题2．